Problemas resueltos

Ejercicio 1

Determine la inercia rotacional de una varilla de 4 m de largo y 2 Kg de mesa si su eje de rotación es: a) Un extremo de la varilla b) El centro de la varilla

a) Si el eje de rotación es un extremo de la varilla, la inercia rotacional está dada por I = 1 /3 ML2 Remplazando los valores, se tiene: I = 1 /3 •(2 Kg)•(4 m)2 = 1 /3 • (2 Kg) •(16 m2) = 10,66 Kgm2 b) Si el eje de rotación es el centro de la varilla, entonces, ahora se tiene que I = 1 /12 ML2 Remplazando los valores, se tiene: I = 1 /12 •(2 Kg)•(4 m)2 = 1 /12 •(2 Kg)•(16 m)2 = 2,66 Kgm2

Ejercicio 2

Calcula el momento de inercia de la Tierra, si la masa de ella es 6x1024 Kg y el radio ecuatorial es 6.370 Km

Considerando a la Tierra como una esfera maciza que gira en torno a su eje se tiene que I = 2 /5 ML2 Remplazando los valores, se tiene: I = 2 /5 •(6x1024 Kg)• (6.37x106 m)2 = 9,73 x1037 Kgm2

Ejercicio 3

En la parte superior de un plano inclinado hay dos esferas idénticas de masas 2 Kg y radio 10 cm, pero la primera es maciza y la segunda tiene la corteza delgada. Determine: a) Inercia rotacional de cada esfera. b) ¿Cuál de las dos va acelerar más rápido?

a) Hay que calcular la inercia rotacional de cada esfera: Esfera maciza I = 2 /5M • R2 Remplazando los valores, se tiene: I = 2 /5•(2 Kg)• (0,1 m)2 =0,008 Kgm2 Esfera hueca I = 2 /3M•R2 Remplazando los valores, se tiene: I = 2 /3•(2 Kg)• (0,1 m)2 =0,013 Kgm2 b) La esfera que tiene menor inercia rotacional puede variar con mayor valor su rapidez, entonces la esfera sólida acelerará más rápido que la hueca.

Ejercicio 4

Una pequeña esfera de 2 kg de masa gira en el extremo de una cuerda de 1,2 m de largo en un plano horizontal alrededor de un eje vertical. Determine su momento de inercia con respecto a ese eje.

Una esfera pequeña en el extremo de una cuerda larga recuerda a una masa puntual que gira en torno a un eje a una distancia radial r. En consecuencia, su momento de inercia está dado por: I = m•r2 = (2 kg)(1,2 m)2 = 2,88 kg m2

Ejercicio 5

¿Cuál es el momento de inercia de una esfera sólida homogénea de 10 kg de masa y radio de 20 cm, alrededor de un eje que pasa por su centro?

A partir de la formula, para una esfera maciza se tiene: I = 2 /5 M•R2 = 2 /5(10 kg)(0,2 m)2 = 0,16 kg m2

Ejercicio 6

Un aro cilíndrico delgado con un diámetro de 1 m y una masa de 400 g rueda hacia abajo de la calle. ¿Cuál es el momento de inercia del aro en torno a su eje central de rotación?

A partir de la formula, para un aro cilíndrico, se tiene: I = M•R2 = (0,4 kg)(0,5 m)2 = 0,1 kg m2

Ejercicio 7

Una rueda de 6 kg de masa y de radio de giro de 40 cm rueda a 300 rpm. Encuentre: a)su momento de inercia, y b)su Energía Cinética rotacional.

a) Momento de inercia: I = M•R2 = (6 kg)(0,4 m)2 = 0,96 kg m2 b) Energía cinética rotacional: Pero ω = 2π•f= 2π•5 rps = 31,4 rad/s Ec = 1 /2 I•ω2 = 1 /2 0,096 Kg m2 • (31,4 rad/s)2 = 470 Joule

Ejercicio 8

Una esfera uniforme de 500 g y 7 cm de radio gira a 30 rev/s sobre un eje que pasa por su centro. Encuentre su Energía Cinética rotatoria.

Primero se necesita el momento de inercia de una esfera uniforme alrededor de un eje que pase por su centro. I = 2 /5M•R2 = 2 /5 (0,5 kg)(0,07 m)2 = 0,00098 kg m2 Ahora se debe calcular la rapidez angular: ω = 2π•f= 2π•30 rps = 188 rad/s La energía cinética rotacional: Ec = 1 /2 I•ω2 = 1 /2 (0,00098 Km2 • (188 rad/s)2 = 17 Joule

Ejercicio 9

Como se muestra en la figura, una esfera sólida uniforme rueda sobre una superficie horizontal a 20 m/s y luego rueda hacia arriba sobre un plano inclinado. Si las pérdidas debidas a la fricción son despreciables. ¿Cuál será el valor de h en el lugar donde se detiene la esfera?

Las Energía Cinética traslacional y rotacional de la esfera en la base del plano inclinado cambiarán a Energía Potencial Gravitacional cuando la esfera se detenga. Por tanto, puede escribirse Epg = Ec + Ecr mgh = 1 /2 m•v2 + I•ω2 Para una esfera sólida se tiene: I = 2 /5M•R2 Como ω = v /r Reemplazando ambas ecuaciones en la primera, se tiene: mgh = 1 /2 m•v2 + 2 /5m•r2 •(v /r )2 Simplificando las masas y el radio en el tercer término se tiene: gh = 1 /2 v2 + 2 /5 v2 gh = 7 /10 v2 10h = 7 /10 (20 m/s)2 h= 28 m

Ejercicio 10

Inicialmente en reposo, un aro de 20 cm de radio rueda hacia abajo de una colina hasta un punto que se encuentra 5 metros por debajo del punto inicial. ¿Qué tan rápido rota en ese punto?

La Energía potencial gravitacional del aro se convertirá en Energía Cinética traslacional y rotacional. Por tanto, puede escribirse Epg = Ec + Ecr mgh = 1 /2 m•v2 + I•ω2 Se tiene: I = m•r2 Y v = ω•r Reemplazando ambas ecuaciones en la primera, se tiene: mgh = 1 /2 m•( ω•r)2 + 1 /2 m•( ω•r)2 Simplificando las masas se tiene: gh = ( ω•r)2 Despejando ω ω2 = gh/r2 ω2 = 10m/s2 •5 m /(0,2 m)2 ω = 35 rad/s